Seminar Dessins d'enfants

Seminar The theory of Dessins d'enfants

Prof. Dr. Gabriela Weitze-Schmithüsen

 

Inhalt:

Alexander Grothendieck, der mit seiner Theorie der Schemata die algebraische Geometrie revolutionierte,  war fasziniert von der Erkenntnis, dass ganz einfache kombinatorische Objekte, die er als Kinderzeichnungen bezeichnete , geschlossene Riemannsche Flächen bzw. äquivalent dazu projektive reguläre algebraische Kurven über den komplexen Zahlen beschreiben. Damit definieren sie Punkte im Modulraum M_g, einem fundamentalen Objekt aus der algebraischen Geometrie.
In diesem Seminar lernen wir das Thema auf unterschiedlichen Ebenen und aus unterschiedlichen Sichtweisen kennen. Wir klassifizieren Kinderzeichnungen kombinatorisch als spezielle Bänder-Graphen, wir lernen die notwendigen Grundkenntnisse zu Riemannschen Flächen und sehen als Ausblick (mit etwas GAGA), wie diese mit algebraischen Kurven zusammenhängen. Wir lernen weiterhin den Modulraum kennen und staunen wie Grothendieck über den Satz von Belyi, der impliziert, dass eine algebraische Kurve genau dann über dem algebraischen Abschluss des Körpers Q definiert ist, wenn sie durch eine Kinderzeichnung beschrieben werden kann. Gegen Ende des Seminars wollen wir neuere Entwicklungen in der Forschung zu Kinderzeichnungen kennenlernen.

Vorbesprechung:

Am 16. April um 14 Uhr in SR 10, Geb. E2.4.

Bitte kurze Anmeldung an weitze@math.uni-sb.de.

 

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Content:

Alexander Grothendieck, who revolutionised algebraic geometry with his theory of schemes, was fascinated by the realisation that such simple objects as the graphs depicted below, which he referred to as dessin d'enfants describe closed Riemann surfaces or, equivalently, projective regular algebraic curves over the complex numbers. In doing so, they define points in the moduli space M_g, a fundamental object in algebraic geometry.
In this seminar, we will explore the topic at various levels and from different perspectives. We will classify dessins d'enfants combinatorially as special ribbon graphs, learn the necessary basics of Riemann surfaces, and as a glimpse into the future (with a bit of GAGA), we will see how they relate to algebraic curves. We will become acquainted with the moduli space. We will marvel -- as Grothendieck did -- over the theorem of Belyi, which implies that an algebraic curve is defined over the algebraic closure of the field Q if and only if it can be described by a dessin d'enfants. Towards the end of the seminar, we will explore recent developments in research.

 

Preliminary Discussion: April 16 at 2pm in SR 10 (E2.4).
 If you are interested, please send a short email to weitze@math.uni-sb.de.