Partial Differential Equations 1 / Partielle Differentialgleichungen 1

Topics

The first, larger part of this course is an introduction to the classical theory of linear partial differential equations of second order:

• General methods: well-posedness, separation of variables, distributions

• Wave equation: d’Alambert’s solution, finite speed of information propagation, spherical means, Euler-Poisson-Darboux equation, Kirchhoff’s and Poisson’s formulae, Huygen’s principle in two and three dimensions

• The heat equation: fundamental solutions, maximum principle, infinite speed of information propagation, smoothing properties

• Laplace’s equation: fundamental solutions, Green’s functions, maximum principle, mean-value theorems, Perron’s method

The second, smaller part of the course is an introduction to the theory of first-order quasilinear differential equations in two independent variables:

• Well-posedness, characteristics and geometric theory

• Transport and shock formation

• Applications

Reading list

• W. Strauss, Partial Differential Equations, An Introduction, Wiley

• M. Renardy and R. R. Rogers, An Introduction to Partial Differential Equations (Chapters 4 and 5), Springer

• E. Kreyszig, Advanced Engineering Mathematics (Part C), Wiley

Timetable

• Lectures: Tuesday 12-2pm, HS IV, E24 and Thursday 12-2pm, Zeichensaal, E25 (Groves)

• Tutorials: Thursday 4-6pm, SR 3, E25 (DeSimone)

Problem sheets and examinations

Problem sheets will be posted on a weekly basis. Solutions are to be submitted electronically by Friday at 5pm. Submitted work will be corrected and returned in the tutorials. Joint solutions from teams of up to four students will be accepted.

Examinations will take place at the end of this semester and the beginning of next semester (Winter Semester 2023/24). To qualify for the examination students must have attained an overall score of at least 50% on the problem sheets.

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Inhalt

Im ersten, größeren Teil der Vorlesung wird die klassische Theorie linearer partieller Differentialgleichungen zweiter Ordnung behandelt:

• Allgemeine Theorie: Wohlgestelltheit, Trennung der Variablen, Distributionen

• Wellengleichung: d’Alambertsche Methode, Informationsausbreitung mit endlicher Geschwindigkeit, sphärische Mittel, die Euler-Possion-Darboux-Gleichung, die Formeln von Kirchhoff und Poisson, Huygensches Prinzip in zwei und drei Dimensionen

• Wärmeleitungsgleichung: Fundamentallösung, Maximumsprinzip, Informationsausbreitung mit unendlicher Geschwindigkeit, glättende Eigenschaften

• Die Laplace-Gleichung: Fundamentallösung, Greensche Funktionen, Maximumsprinzip, Mittelwertsätze, Perronsche Methode

Im zweiten, kleineren Teil der Vorlesung werden quasilineare Differentialgleichungen erster Ordnung in zwei unabhängigen Veränderlichen behandelt:

• Wohlgestelltheit, Charakteristische und geometrische Theorie

• Transport und Schockbildung

• Anwendungen

Literatur

• W. Strauss, Partial Differential Equations, An Introduction, Wiley

• M. Renardy and R. R. Rogers, An Introduction to Partial Differential Equations (Chapters 4 and 5), Springer

• E. Kreyszig, Advanced Engineering Mathematics (Part C), Wiley

Termine

• Vorlesungen: Di. 12-14 Uhr, HS IV, E24 und Do. 12-14 Uhr, Zeichensaal, E25 (Groves)

• Übungen: Do. 14-16 Uhr, SR 3, E 25 (DeSimone)

Übungsblätter und Prüfungen

Übungsblätter werden jede Woche übers CMS verteilt. Lösungen sind bis Freitag um 17.00 Uhr im CMS abzugeben. Sie werden korrigiert und in den Übungen züruckgegeben. Gemeinsame Abgaben von Gruppen aus bis zu vier Studierenden werden akzeptiert.

Abschlussprüfungen finden am Ende des Semesters sowie am Anfang des Wintersemesters 2023/24 statt. Zugelassen zur Prüfung ist, wer mindestens 50% aller Übungspunkte erreicht hat.