Algebraische Topologie

Algebraische Topologie

Willkommen auf der Hauptseite des Kurses „Algebraische Topologie“ (SS 26). Wir freuen uns auf ein gemeinsames Semester!

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Team

• Dozent: Davide Veniani.
• Assistenten: Manuel Kany, Pascal Kattler.

Für die E-Mail-Adressen siehe hier.

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Termine

• Vorlesungen:
  • Dienstags 14:15-15:45 Uhr, Gebäude E2.4, Seminarraum 6.
  • Donnerstags 16:00-17:30 Uhr, Gebäude E2.4, Seminarraum 6.
• Übungen:
  • Donnerstags 10:00-12:00 Uhr, Gebäude E2.4, Seminarraum 10 (ab dem 23.04.2026).
• Sprechstunden:
  • Jederzeit nach Vereinbarung.
• Prüfungen:
  • to be announced.

Datum	Programm (Entwurf in Kursivschrift)
Di 07.04.2026	Topologische Räume. Diskrete, indiskrete, kofinite Topologie. Metrische Räume. Basis einer Topologie. Teilraumtopologie. Quotiententopologie.
Do 09.04.2026	Bahnenräume. Einheitssphäre. Projektive Räume. Trennungsaxiome. Hausdorffsche, reguläre und normale Räume.
Di 14.04.2026	Subbasis einer Topologie. Produkttopologie. Satz von Tychonoff. Satz von Heine-Borel. (Quasi-)Kompakte Räume. S^2/S^0 und RP^2 sind kompakt.
Do 16.04.2026	Zusammenhang und Wegzusammenhang: Intervalle, Wege, Wegzusammenhangskomponente. Topologische Sinuskurve. Kamm-Raum. Lokaler Wegzusammenhang.
Di 21.04.2026	Homotopie von Wegen. Fundamentalgruppe. Einfach zusammenhängende Räume.
Do 23.04.2026	Fundamentalgruppe von S^1. Anwendung: Fundamentalsatz der Algebra.
Di 28.04.2026	Fixpunktsatz von Brouwer und Satz von Borsuk–Ulam in Dimension 2. Retrakt. Fundamentalgruppe des Produktes. Induzierte Homomorphismen. Deformationsretrakt.
Do 30.04.2026	Fundamentalgruppe von S^n. R^2 ist nicht homöomorph zu R^n. Starker Deformationsretrakt. Homotopieäquivalenz.
Di 05.05.2026	Freies Produkt. Satz von Seifert und van Kampen.
Do 07.05.2026	[Tag der patologischen Beispiele] Wedge-Produkt. Verkettung von Kreisen. Hawaiischer Ohrring. Warschau-Kreis. Fundamentalgruppe von S^2/S^0. Überlagerungen. 2-orientierte Graphen.
Di 12.05.2026	Hebungseigenschaften.
Do 14.05.2026	Christi Himmelfahrt (keine Vorlesung)
Di 19.05.2026	Semilokal einfach zusammenhängende Räume. Existenz einer einfach zusammenhängenden Überlagerung.
Do 21.05.2026	Klassifikation von Überlagerungen. Universelle Überlagerung. Decktransformationen. Fundamentalgruppe von S^2/S^0 und RP^2.
Di 26.05.2026	(mit Manuel Kany) Decktransformationen VS eigentlich diskontinuierliche Gruppenaktionen. Definition von CW-Komplexen. Graphen, und reelle projektive Räume als CW-Komplexe.
Do 28.05.2026	(mit Manuel Kany) Kompakte, orientierbare Flächen als CW-Komplexe. Anwendung von Seifert–van Kampen für CW-Komplexe. Fundamentalgruppe der Flächen.
Di 02.06.2026	(mit Pascal Kattler) Monodromie von Überlagerungen. Graphen und freie Gruppen.
Do 04.06.2026	Fronleichnam (keine Vorlesung)
Di 09.06.2026	∆-Komplexen. Simpliziale Homologie: Torus und reelle projektive Ebene. Singuläre Homologie. Homologiegruppen des Punktes. Reduzierte Homologiegruppen.
Do 11.06.2026	Homologiegruppen und Zusammenhangskomponenten. Homotopieinvarianz. Exakte Sequenzen. Relative Homologiegruppen.
Di 16.06.2026	Exzision. Lange exakte Sequenz assoziiert zu einem Tripel. Homologiegruppen der Sphären. Naturalität.
Do 18.06.2026	Fixpunktsatz von Brouwer. Dimensionsinvarianz. Äquivalenz von simplizialer und singulärer Homologie.
Di 23.06.2026	Äquivalenz von simplizialer und singulärer Homologie. Zelluläre Homologie.
Do 25.06.2026	Zelluläre Randformel. Lokaler Grad. CW-Komplex-Struktur und zelluläre Homologie von CP^n und RP^n.
Di 30.06.2026	Zelluläre Homologie von M_g und N_g. Homologie mit Koeffizienten in G. Homologie von RP^n mit Koeffizienten in F_2. Satz von Borsuk–Ulam.
Do 02.07.2026	Spaltende kurze exakte Sequenzen. Kohomologiegruppen. Universeller Koeffizientensatz der Kohomologie. Linksexakte Funktoren.
Di 07.07.2026	Freie Auflösungen abelscher Gruppen. Ext-Gruppen. Korollar über endlich erzeugte Homologiegruppen.
Do 09.07.2026	Cup-Produkt. Beispiel: M_g. Kohomologiering.
Di 14.07.2026	(mit Pascal Kattler) (Kapitel 3.3) Poincaré-Dualität.
Do 16.07.2026	Cap-Produkt. Poincaré-Dualität.

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Literatur

• W. Fulton, Algebraic Topology, A First Course, Springer, 1995.
• A. Hatcher, Algebraic Topology, Cambridge University Press, 2002. 
• K. H. Mayer, AlgebraischeTopologie, Birkhäuser, 1989.
• J. Rotman, An Introduction to Algebraic Topology, Springer, 1988.
• R. Stöcker, H. Zieschang, Algebraische Topologie, Teubner Stuttgart, 1988.