Seminar Generating Functions

Proseminar/Seminar Generating Functions

Prof. Dr. Gabriela Weitze-Schmithüsen

 

Inhalt:

Erzeugendenfunktionen bilden eine schöne Brücke zwischen Kombinatorik, Analysis, Zahlentheorie und Algebra. Die Kernidee besteht darin, dass man eine unendliche Folge natürlicher Zahlen hat, die häufig aus einem kombinatorischen oder zahlentheoretischen Problem stammen. Diese Zahlen werden als Koeffizienten einer Potenzreihe interpretiert. Wie viel "weiß" diese analytische Funktion über Ihr ursprüngliches Problem? Tatsächlich oft sehr viel!

Für bestimmte Klassen von Problemen können wir aus der Erzeugendenfunktion Durchschnittswerte und andere statistische Eigenschaften, asymptotische Formeln und neue Identitäten ableiten. Wahrscheinlich eine der bekanntesten Erzeugendenfunktion - die dieses Thema mit der Zahlentheorie verbindet - ist die berühmte Riemann-Zeta-Funktion. 

Klassische Folgen und Zählprobleme, die in diesem Zusammenhang auftreten, sind:

• die Fibonacci-Reihe
• das Zählen von Permutationstypen
• das Zählen von speziellen Klassen von Graphen mit n Ecken.
• das Zählen von Partitionen
• das Zählen von Teilern
• das Zählen von primitiven Wörtern

Ein Beispiel für eine Anwendung in der aktuellen Forschung ist die Untersuchung von Erzeugendenfunktionen im Kontext verzweigter Überlagerungen des Torus, die zur Berechnung von Volumina sogenannter Modulräume flacher Flächen verwendet wurde. Unsere Hauptreferenz wird "Generatingfunctionology" von Herbert S. Wilf sein.

Voraussetzungen:

Lineare Algebra I und II, Analysis I und II.

Vorbesprechung:

Mittwoch, 19. März  um 13 Uhr in SR 10, Geb. E2.4.

Bitte kurze Anmeldung an weitze@math.uni-sb.de oder direkt zur Vorbesprechung kommen.

 

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Content:

Generating functions build a nice bridge between combinatorics, analysis, number theory and algebra. The key idea is that one has an infinite sequence of natural numbers which often originate  from a combinatorial or a number theoretical problem. These numbers are interpreted as coefficients of a power series.  How much does this analytic function 'know' about your original problem? Indeed often very much!
For certain classes of problems, we can deduce from the generating function averages and other statistical properties, asymptotic formulas and new identities. Probably one of the most prominent counting functions -- relating this topic to number theory -- is the famous Riemann zeta-function.  Classical sequences and counting problems arising in this context are

•  the Fibonacci series
• counting special types of permutations  
• counting special classes of graphs with a given number of vertices
• counting numbers of partitions
• counting numbers of divisors
• counting number of primitive strings

One example of an application in current research is the study of generating functions in the context of branched covers of a torus which was used to compute volumes of so-called moduli spaces of flat surfaces. Our main reference will be Generatingfunctionology by Herbert S. Wilf.

Prerequisites:

Linear Algebra I and II, Analysis I and II.

Preliminary Discussion: 

Wednesday, March 19 at 1pm in SR 10 (E2.4).

Registration:

If you are interested to attend the seminar, please send a short email to weitze@math.uni-sb.de or directly come to the preliminary discussion.