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Nonstandard Analysis (Seminar & Proseminar)
Apl. Prof. Dr. Frederik Herzberg
Inhalt
Die Veranstaltung führt in das Gebiet der Nonstandard-Analysis ein, dessen Grundzüge in den 1960er Jahren zunächst von Abraham Robinson entwickelt wurden. Es handelt sich um einen alternativen Zugang zur Analysis und verwandten Gebieten (einschließlich Funktionalanalysis sowie Maßtheorie und somit auch Stochastik), der den widerspruchsfreien Gebrauch von Infinitesimalien und unendlich großen Zahlen erlaubt. Ermöglicht wird dies durch den Einsatz von Methoden aus der Modelltheorie, einem Teilgebiet der Mathematischen Logik.
Termine
- Mittwoch 14-16 Uhr, Gebäude E2 4, Seminarraum 6
- Veranstaltungsbeginn (Vorbesprechung der Themen): 12. April 2023
Themen
Mögliche Vortragsthemen (Auswahl):
- Geschichte infinitesimaler Analysis
- Superstrukturen
- Nichtstandard-Einbettungen und Transfer-Prinzip
- Ultrapotenzen und hyperreeller Zahlkörper
- Nichtstandard-Analysis reellwertiger Folgen, Reihen und Funktionen
- Interne Mengen und Hyperendlichkeit
- Hyperendliche Summen und Integrale
- Nichtstandard-Topologie I
- Nichtstandard-Topologie II
- Loeb-Maßtheorie
- Hyperendliche Irrfahrten und Brownsche Bewegung
- Das Donskersche Invarianzprinzip
- Konstruktion von Nichtstandard-Einbettungen
Die ersten fünf Themen eignen sich besonders für die Proseminar-Teilnahme. Eine frühzeitige Anmeldung per E-Mail wird empfohlen.
Voraussetzungen
- Interesse an Mathematischer Logik
- Grundvorlesung Analysis I (für den Proseminar-Teil)
- Grundvorlesung Analysis III (für den Seminar-Teil)
(Kenntnisse in maßtheoretischer Stochastik oder Funktionalanalysis sind hilfreich für die späteren Vortragsthemen, aber keine Voraussetzung.)
Leistungen
- 45-minütiger Vortrag
- schriftliche Ausarbeitung zum Vortrag (Proseminar: 3 Druckseiten; Seminar: ca. 10-15 Druckseiten)
- regelmäßige Teilnahme an den Seminarsitzungen
Die Leistungspunkte werden gemäß jeweiliger Prüfungsordnung vergeben.
Literatur
- Landers & Rogge, Nichtstandard Analysis. Springer-Lehrbuch
- Goldblatt, Lectures on the Hyperreals. Springer Graduate Texts in Mathematics